高数错题本

函数

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数列极限

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函数极限

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一元函数微分学的概念与计算

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一元函数微分学的几何应用

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中值定理

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出现三个不同点的值时，两两之间使用拉格朗日中值定理

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高阶导数用泰勒公式，，或者多次拉格朗日，三阶导数通过二阶导数用平均值，如果三阶导数不连续，则用导数介值定理

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底为导数时可以尝试用柯西

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当证明二阶导数大于或者小于某个非零常数时，往往利用泰勒公式

零点问题与微分不定式

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一元函数积分学的概念与计算

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括号里面是复杂的参数，直接替换成u

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a=b=(a+b)/2

积分等式与积分不等式

端点为0考虑用拉格朗日
出现三个点，考虑两两之间用拉格朗日

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含参数的考虑把参数变成x然后移项构造新函数

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被积函数带导数或带变限积分时，考虑分部积分
证明题出现定积分，考虑用：
- 区间再现
- 中值定理
- 分部积分

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出现积分与函数加减运算，一般二者统一化，变成积分加积分或者函数加函数
证明积分不等式可以考虑变上限或者下限为参数，构造变限积分进行求导

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证明题结论中被积函数有导数，走牛顿莱布尼兹公式，没有就用拉氏

f(x)=f(x)-f(a)=\int_a^xf'(t)dt~~~~(f(a)=0)

多元函数微分学

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找区域上的最大值和最小值分两步：
- 找区域内部可疑点，导数为0，导数不存在
- 找边界上的可疑点，导数为0，导数不存在

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技巧：

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二元函数的驻点：对x的偏导数和对y的偏导数均为0

二重积分

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常微分方程

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非齐次的解由齐次的解和非齐次的解共同构成，通解代表每个解，通解都由两个解构成代表每个解都由两个解构成，所以特解有可能由非齐和齐次构成，得找出齐次的和非齐次的部分

TIPS:

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非齐次的两个解做差是齐次方程的非零解，几阶就有几个常数，如果找非齐次的通解就是齐次的通解加上非齐次的特解

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二阶、高阶的题每一次出现常数，尽快把常数定下来，不要带着C往下走

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考三次，考四次一定是特殊的能因式分解

无穷级数

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证明题一般都是靠大收小收和小发大发证明
依靠不等式（尤其是均值不等式），或者用到题目的特殊条件，或者极限的有界性放缩

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比较复杂的级数要研究通项
只有正向级数才能等价替换

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有根号就有理化

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级数求和，能拆即拆，一个个做
没有x就创造x

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通项是积分表达式，积不出来的，一般放缩积分然后进行处理（分母变小、分母拿掉）

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根号：通分、约分、有理化、换元、提公因子

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研究绝对收敛和条件收敛还可以拆分

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求和先求收敛域和收敛范围
求和技巧：拆开求、分开求；求导消分母，积分还原
幂级数的和函数都是连续函数

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没有x的级数求和就创造x，把常数改成x

微积分应用

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液体质量公式
功的物理公式
压力的物理公式
引力的物理公式
行星的物理公式
上减下，右减左代表距离
常考：浸水压力、抽水做功、形心问题

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改变有限个点的值，不影响积分的进行

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级数看不懂就展开

![](/img/ 151042.jpg)

多元函数积分学的基础知识

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要找平面靠点和法向量（点法式）
与两条直线垂直的法向量即两条直线的向量叉乘

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直线在面上的投影，就是过该直线找一个与平面垂直的平面，然后联立，二者的交线即是直线在面上的投影（利用平面束的思想）
- 把直线改成一般式，构造平面束（一个不变另一个前面加λ）
- 法向量内积=0（垂直）得出λ
- 联立垂直面和题目面得出交线
绕哪个轴转，就解出其他两个变量和该轴变量的关系
其余两个变量平方相加，左右相等